Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .

Производная обозначается символами

y ¢, f ¢(x o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ¹ 0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m Î R ).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u v , (u>0), где u и v суть функции от х , имеющие в данной точке производные u" , v" .

Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+a, где a®0 при Dх® 0; отсюда D y = y" Dх + a x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" Dх. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"Dх = 1×Dх =Dх, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции D y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Пример 3 .15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Пример 3.16 . Найти y", y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Пример 3 .17. Найти производную сложной функции y= ,
u=x 4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то
(2 x 4 +2+ .

Пример 3 .18.

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e u и u = x 2 . Имеем: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. Подставляя x 2 вместо u , получим y=2x .

Пример 3 .19. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Пример 3.20. Найти производную функции y= .

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

Пример 3.21 . Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x о) = 0, либо f ¢(x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ¢ (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f ¢(x о) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 £ x £ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ¢ >0, а при x >a/4 S ¢ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Во всех приведенных ниже формулах буквами u и v обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x : , , а буквами a , c, n - постоянные:

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

10.

11.

12.

13.

15.

17.

7а.

10а.

12а.

13а.

14а.

15а.

16а.

17а.

При решении приведенных ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5, 7 и 8:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим

Пример 3. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 7а и 10, имеем

Вычислим значение производной при :

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:

Пример 6.

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов :

Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:

Вычислим значение производной при .

Пример 7. Найти производную функции и вычислить ее значение при .

Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:

Вычислим значение производной при :

Геометрический смысл производной.

Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию .

Если функция дифференцируема в точке х , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (х 0 , у 0), равен значению производной функции при х = х 0 , т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид

Пример 8 . Составить уравнение касательной к графику функции в точке А (3,6).

Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

х = 3:

Уравнение касательной имеет вид

Или , т.е.

Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х=2 .

Решение. Сначала найдем ординату точки касания . Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.

; .

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке , имеет вид . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:

Уравнение касательной таково:

, , т.е.

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t ), то за промежуток времени (от момента t до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения пути к приращению времени , когда приращение времени стремиться к нулю:

Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х :

Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой (s - в метрах, t - в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути s по времени t :

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.

Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где v 0 - начальная скорость, g - ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t . Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если v 0 = 40 м/с?

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

, , , , с.

За 40/g секунд тело поднимается на высоту

, м.

Вторая производная.

Производная функции в общем случае является функцией от х . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов - , , . Таким образом, .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

или ,

Пример 12. .

Решение. Сначала найдем первую производную

Пример 13. Найти вторую производную функции и вычислить ее значение при х=2 .

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Вычислим значение второй производной при х=2 ; имеем

Физический смысл второй производной.

Если тело движется прямолинейно по закону s = s(t) , то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная - ускорение того же процесса.

Пример 14. Точка движется по прямой по закону . Найти скорость и ускорение движения .

Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение - второй производной пути s по времени t . Находим:

; тогда ;

; тогда

Пример 15. Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона , сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.

Или

Согласно условию, . Дифференцируя это равенство, найдем

Следовательно, действующая сила .

Приложения производной к исследованию функции .

1) Условие возрастания функции : Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная больше ноля, т. е. y = f(x) f’(x) > 0 . Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением к оси оХ.

2) Условие убывания функции : Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная меньше ноля, т. е.

y = f(x)↓ f’(x)Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси оХ)

3) Условие постоянства функции: Дифференцируемая функция y = f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная равна нулю, т. е. y = f(x) - постоянна f’(x) = 0 . Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции параллельна оси оХ, т. е. α = 0)

Экстремумы функции.

Определение 1 : Точку х = х 0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x)> f(x 0)

Определение 2: Точку х = х 0 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x) < f(x 0).

Определение 3: Точку минимума или максимума функции называют точкой экстремума . Значение функции в этой точке называют экстремальным.

Замечания : 1. Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением функции;

2. Функция может иметь несколько максимумов или минимумо;

3. Функция, определённая на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

5) Необходимое условие экстремума: Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками 1 рода .

6) Достаточные условия существования экстремума функции: Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри этого промежуткак ритическую точку 1 рода х = х 0 , то:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х 0 f’(x) < 0, а при x> x 0 f’(x) > 0, то х = х 0 является точкой минимума функции y = f(x);

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х 0 f’(x) > 0, а при x> x 0

f’(x) < 0, то х = х 0 является точкой максимума функции y = f(x);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и справа и слева от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет.

Промежутки убывания или возрастания функции называются промежутками монотонности.

Определение1: Кривая у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке а < х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется выпуклой вверх на промежутке а < х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 2: Промежутки, в которых график функции обращён выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Достаточное условие выпуклости кривой. График дифференцируемой функции Y = f(x) является выпуклым вверх на промежутке а < х <в, если f”(x) < 0 и выпуклым вниз , если f”(x) > 0.

Определение 1: Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода .

Определение 2: Точка графика функцииY = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположенных направлений этого графика, называется точкой перегиб.

точка перегиба

Пример : Дана функция у = х 3 - 2х 2 + 6х - 4.Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума. Определить направление выпуклости и точки перегиба.

Решение: 1. Найдем область определения функции: D(y) = ;

2. Найдем первую производную: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Решим уравнение: y’ = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, то данное уравнение не имеет решения, следовательно точек экстремуму нет. y’ , то функция возрастает на всей области определения.

4. Найдем вторую производную:y” = 6x - 4;

5. Решим уравнение: y” = 0, 6x - 4 = 0, х =

Ответ: ( ; - ) - точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вверх при х

Асимптоты.

1. Определение : Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график данной функции.

2. Виды асимптот :

1) Вертикальные асимптоты . График функции y = f(x) имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а

2) Горизонтальные асимптоты . График функции y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b.

Пример 1 : Для функция y = найдите асимптоты.

3) Наклонные асимптоты. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если . Значения k и b вычисляются по формулам: k = ; b = .

Решение: , то y = 0 - горизонтальная асимптота;

(т. к. х - 3 ≠ 0, х ≠3), то х = 3 - вертикальная асимптота. ,т. е. k = 0, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Пример 2 : Для функции y = найдите асимптоты.

Решение: x 2 - 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 и х = - 5 являются горизонтальными асимптотами;

y = , то кривая не имеет вертикальной асимптоты;

k = ; b = , т. е. y = 5x - наклонная асимптота.

Примеры построения графиков функций .

Пример 1 .

Исследовать функцию и построить график функции у = х 3 - 6х 2 + 9х - 3

1. Найдём область определения функции: D(y) = R

у(- х) = (- х) 3 - 6·(- х) 2 + 9·(-х) - 3 = - х 3 - 6х 2 - 9х - 3 = - (х 3 + 6х 2 + 9х + 3), т. е.

(у = х 5 - х 3 - нечетная, у = х 4 + х 2 - четная)

3. Не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: если х = 0, то у = - 3 (0; - 3)

если У = 0, х найти затруднительно.

5. Найдем асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот нет, т.к. нет значений х, при которых функция неопределенна; у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;

k = , т. е. наклонных асимптот нет.

6. Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y’= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - критические точки 1 рода.

Определим знаки производной: y’(0) = 9 > 0; y’(2) = - 3 < 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - точка максимума; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - точка минимума, функция у при х и у .

7. Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - критическая точка 1 рода.

Определим знаки второй производной: y”(0) = - 12 < 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х .

8. Дополнительные точки:

х	- 1
у	- 19

9. Построим график функции:

Исследовать функцию и построить график функции у =

1. Найдём область определения функции: 1 - х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .

2. Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: ,

у(- х) ≠ у(х) - не является чётной и у(- х) ≠ - у(х) - не является нечётной

3. Не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0, то у = - 2; у = 0, , то , т. е. (0; - 2); ().

5. Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 1,то прямая х = 1 - вертикальная асимптота;

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или - ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .

Производная обозначается символами

y , f (x o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .

1) (с) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем  0, то .

1. (u )" =  u  1 u" (  R ).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.

y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+, где 0 при х 0; отсюда  y = y" х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"х = 1х =х, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .